Lekcija 0: Kategorije (prvi dio)

              www.irb.hr/korisnici/zskoda/snop.html

0.1. Pretpostavlja se da slušači imaju osnovnu predodžbu o razlici medju skupovima i klasama, o neprebrojivosti, aksiomatskim sustavima i da su bar jednom vidjeli ZFC (Zermelo-Frankelova (ZF) aksiomatika teorije skupova s aksiomom izbora AC).

Sjetimo se daje dobar uredjaj na skupu S takav linearni uredjaj da svaki podskup T ⊂ S ima najmanji element. Skup X je tranzitivan ako je relacija pripadnosti na njemu tranzitivna, tj. Z ∈ Y ∈ X implicira Z ∈ X (”sa svakim skupom kojeg sadrži, sadrži i sve njegove elemente”). Ordinal je tranzitivni skup koji je dobro uredjen. Za bilo koja dva dobro uredjena skupa X, Y vrijedi jedna od tri alternative: X je izomorfan Y, X je izomorfan početnom segmentu od Y ili je Y izomorfan početnom segmentu od X.

Granični ordinali su oni ordinali koji nisu neposredni sljedbenik ni jednog drugog ordinala. Neka je P (A) partitivni skup skupa A. Transfinitnom rekurzijom definiramo skupove V_{α} gdje je α ordinal:

V_{0} = ∅

V_{α+1} = P (V_{α})

V_{α} = ∪_{β<α}V_{β} ako je α granični ordinal.

Kardinal je ordinal koji nije bijektivan s ni jednim manjim ordinalom. Svaki kardinal je granični ordinal. Klasa ordinala Ord je dobro uredjena s obzirom na relaciju α ∈ β, a isto vrijedi i na potklasu kardinala Card. Aksiom regularnosti je ekvivalentan tvrdnji da je svaki skup element nekog V_{α}; svi oni zajedno čine klasu koja se zove von Neumannov univerzum V.

Beskonačni kardinal κ je regularan ako nije unija < κ skupova kardinalnosti manje od κ. Kardinal κ je jako granični ako λ < κ implicira 2^{λ} < κ (tj. ako mu je x element onda mu je i partitivni skup P (x) element). Nedosezivi (engl. inaccessible) kardinali su neprebrojivi jako granični regularni kardinali.

Ne samo da ZFC ne implicira postojanje nedosezivih kardinala, nego u ZFC ne možemo ni dokazati konzistenciju dodatnog aksioma da nedosezljivi kardinali postoje. Ukoliko postoji nedosezljivi kardinal, onda postoji beskonačno puno nedosezljivih kardinala koji su veći od njega.

Grothendieckov univerzum U je skup oblika V_{α} gdje je α nedosezljivi kardinal. Dakle aksiom o postojanju Grothendieckovih univerzuma kojeg ćemo mi prihvaćati u ovom kolegiju, je ekvivalentan aksiomu o postojanju nedosezljivih kardinala. Bilo koji element Grothendieckovog univerzuma U se naziva U-malenim skupom.

Alternativno, Grothendieckov univerzum je tranzitivan skup zatvoren s obzirom na formiranje parova, unija familija podskupova indeksiranim bilo kojim svojim elementom i na operaciju partitivnog skupa. S druge strane, svaki Grothendieckov univerzum (ako postoji) je model ZFC.

0.2. Veliki graf G se sastoji od klase vrhova (objekata) Ob G = G_{0}, klase bridova (morfizama, strelica) Mor G = G_{1}, te dviju funkcija dom, cod : Mor G → Ob G (domena i kodomena), koje ćemo takodjer označavati i s s = dom, t = cod (izvor i ponor). Ako je f ∈ G_{1}, x, y ∈ G s f : x → y označavamo sud (x = domf i y = codf). Par f = (f_{0}, f_{1}) preslikavanja f_{k} : G_{k} → H_{k}, k = 1, 2 je morfizam velikih grafova ako cod^{H} ∘ f_{1} = f_{0} ∘ cod^{G} i dom^{H} ∘ f_{1} = f_{0} ∘ dom^{G}. U praksi ćemo često pisati neprecizno f ne samo za par (f_{1}, f_{2}) nego i za f_{0} i f_{1}, npr. ako je C ∈ Ob G, f(C) označava zapravo f_{1}(C).

Za dva preslikavanja a : X → Z, b : Y → Z, s X_{a}×_{b} Y ili, ako a, b podrazumijevamo, s X ×_{Z} Y označavamo klasu

X_{a}×_{b} Y := {(x, y) ∈ X × Y | a(x) = b(y)}.

S tom klasom prirodno su zadane projekcije p_{k}, k = 1, 2 s X_{a}×_{b} Y redom na prvu i drugu komponentu X i Y kao restrikcija projekcija s kartezijevog produkta X × Y klasa. Notacija C_{1} ×_{C_{0}} C_{1}, C_{1} ×_{C_{0}} C_{0} će uvijek podrazumijevati da je preslikavanje iz C_{1} u C_{0} domena ako je slijeva i kodomena ako je zdesna, te identiteta id : C_{0} → C_{0}.

0.3. Kategorija C je veliki graf s dvije funkcije m : Mor C_{dom} ×_{cod} Mor C → Mor C, i : Ob C → Mor C (kompozicija i jedinica) gdje je u (g, f) ∈ Mor C×Mor C tj. onih za koje je codf = domg s aksiomima navedenim niže. Mor C_{dom} ×_{cod} Mor C je klasa kompozabilnih parova morfizama, analogno za n-torke.

Zahtijevamo asocijativnost kompozicije

m ∘ (m ×_{C_{0}} id) = m ∘ (id ×_{C_{0}} m)

na klasi Mor C_{dom} ×_{cod} Mor C_{dom} ×_{cod} Mor C svih kompozabilnih trojki, aksiom jedinice

m ∘ (i ×_{C_{0}} id) = m ∘ (id ×_{C_{0}} i) = id : C_{1} ≅ C_{0} ×_{C_{0}} C_{1} ≅ C_{1} ×_{C_{0}} C_{0} → C_{1}

te identiteti

\begin{aligned}s ∘ i & = & t ∘ i = id_{C_{0}}, \\ s ∘ m & = & s ∘ p_{1}, t ∘ m = t ∘ p_{2} : C_{1} ×_{C_{0}} C_{1} → C_{1} \end{aligned}

Ako je C ∈ Ob C označavamo id_{C} := i(C) : C → C i zovemo identitetom, ili identičkim morfizmom objekta C.

Lokalno mala kategorija je kategorija takva da je za svaka dva objekta x, y ∈ Ob C klasa hom(x, y) = {z|domz = x, codz = y} skup. U praktičnoj matematici se često podrazumijeva da se razmatraju samo lokalno malene kategorije, no mi ćemo gledati i lokalno velike.

Ako je U Grothendieckov univerzum, tada je U-malena kategorija bilo koja kategorija čije su klase morfizama i objekata U-maleni skupovi. U-kategorija je bilo koja kategorija čiji su svi objekti i svi morfizmi u U (bez ponavljanja). Npr. kategorija Set_{U} svih U-malenih skupova i njihovih preslikavanja je U-kategorija, nije U-mala ali je lokalno U-mala. Ona je U′-mala za bilo koji Grothendieckov univerzum U′ veći od U.

0.4. Elementi klasa C_{0} i C_{1} nazivaju se objekti i morfizmi. Kažemo da je veliki graf (kategorija) C graf (mala kategorija) ako je C_{0} skup. Izomorfizam ili invertibilni morfizam f : a → b je morfizam za koji postoji inverz g : b → a, tj. f ∘ g = id_{b} i g ∘ f = id_{a}. Dva objekta a, b ∈ C_{0} su izomorfni ako postoji izomorfizam f : a → b. Svaka identiteta je izomorfizam. Groupoid je mala kategorija čiji su svi morfizmi invertibilni.

f : A → B je epimorfizam (epi) takav da za svaka dva morfizma g, g′ : B → C, g′ ∘ f = g ∘ f implicira g′ = g (desna skrativost). f je monomorfizam (mono) ako za svaka dva morfizma h, h′ : D → A, f ∘ h = f ∘ h′ implicira h = h′. f is bimorfizam ako je i epi i mono. Svaki izomorfizam je bimorfizam. Kategorija je balansirana ako je i svaki bimorfizam izomorfizam.

0.4.1. (Zadatak 0.0) a) Pokaži da je prirodno ulaganje Z ⊂ Q epimorfizam u kategoriji unitalnih prstena i homomorfizama unitalnih prstena.

b) Kategorija skupova i preslikavanja skupova Set je balansirana.

0.5. Ako je C kategorija, dualna kategorija C^{0} je jedinstvena kategorija takva da je (C^{0})_{0} = C_{0}, (C^{0})_{1} = C_{1} (s oznakama x^{0} i f^{0} za x i f kad su u dualnoj kategoriji) s dom^{0} = cod, cod^{0} = dom : (C^{0})_{1} → C_{0}, m^{0} = m ∘ τ gdje je τ : (C^{0})_{1} ×_{(C^{0})_{0}} (C^{0})_{1} → C_{1} ×_{C_{0}} C_{1} kanonska bijekcija medju klasom kompozabilnih i klasom (kompozabilnih)^{0} morfizama (f, g) ↦ (g, f).

0.5.1. (Zadatak 0.1) Dokaži da je dualna kategorija dobro definirana kategorija.

0.6. Objekt x ∈ C_{0} je (univerzalni) inicijalni (redom terminalni) objekt ako za svaki y ∈ C_{0} postoji jedinstveni morfizam f : x → y (redom f : y → x). Terminalni objekt x se naziva takodjer finalnim ili konačnim; x je očito terminalni u C akko je x^{0} inicijalni u C^{0}.

0.6.1. (Zadatak 0.2) Inicijalni objekt, ako postoji, je jedinstven do na izomorfizam.

0.7. Funktor je morfizam F = (F_{0}, F_{1}) : G → H pripadnih velikih grafova koji komutira s kompozicijom, tj. c^{H} ∘ (F_{1} × F_{1}) = F_{1} ∘ c^{G} : G_{1} ×_{G_{0}} G_{1}. Domena i kodomena funktora F su, naravno, G i HH respektivno. Funktor F : G → H je vjeran (pun, ulaganje kategorija) ako je F_{1}|_{Hom(x,y)} injekcija (redom: surjekcija, bijekcija) za svaki par objekata x, y ∈ G_{0}. Ponekad se govori i ”kovarijantni funktor iz G u H”. Kontravarijantni funktor G iz G u H označava po definiciji (kovarijantni) funktor G : G^{0} → H. Endofunktor u C je funktor F : C → C.

0.8. Potkategorija (C, j) kategorije D je uredjeni par kategorije C i vjernog funktora j : C → D. Potkategorija u užem smislu je potkategorija za koju su j_{k} : C_{k} ⊂ D_{k} za k = 1, 2, kanonska ulaganja podskupova. Potkategorija je puna ako je j ulaganje kategorija, tj. puni i vjeran funktor.

0.8.1. (Zadatak 0.3) Za svaku potklasu P ⊂ Ob D postoji jedinstvena puna potkategorija P u užem smislu, takva da je Ob P = P i Mor P ⊂ Mor D. Kažemo da je P puna potkategorija kategorije D generirana klasom objekata P.

0.9. Za dva funktora F, G : C → D, (prirodna) transformacija α : F ⇒ G je funkcija α : Ob C → Mor D, gdje je α_{C} := α(C) : F_{0}(C) → G_{0}(C) te za svaki morfizam f : C → C′ u C, slijedeći dijagram ”prirodnosti” komutira

\xymatrix{F_{0}(C) \ar[r]^{F_{1}(f)} \ar[d]_{α_{C}} & F_{0}(D) \ar[d]^{α_{D}} \\ G_{0}(C) \ar[r]^{G_{1}(f)} & G_{0}(D).}

α_{C} je C-komponenta transformacije α. Prirodnu transformaciju čije su sve komponente izomorfizmi zovemo (prirodni) izomorfizam funktora.

0.10. Par funkcija (id_{Ob C}, id_{Mor C}) čini identični funktor id_{C} : C → C ponekad označen C. Funktor F : C → D je izomorfizam kategorija ako postoji funktor G : D → C koji mu je striktni inverz, tj. G ∘ F = id_{C} i F ∘ G = id_{D}. Funktor F : C → D je ekvivalencija kategorija ako postoje funktor H : D → C i prirodni izomorfizmi funktora α : id_{C} → H∘F i β : id_{D} → F ∘H. Dvije kategorije C, D su ekvivalentne ako postoji ekvivalencija F : C → D. Ekvivalencija malih kategorija je relacija ekvivalencije na klasi svih malih kategorija. Kategorija C je skeletalna ako za su bilo koja dva medjusobno izomorfna objekta u C jednaka.

0.10.1. (Zadatak 0.4) Ukoliko prihvatimo aksiom izbora, tada za svaku kategoriju C postoji skeletalna kategorija D ekvivalentna kategoriji C. Izbor D je jedinstven do na izomorfizam kategorija i zovemo ga skeleton kategorije C.

0.10.2. Funktor F : G → H je esencijalno surjektivan (na objektim) (kratica e.s.o.) ako za svaki objekt H u H postoji objekt G u G i isomorfizam

F (G) →^{cong} H.

0.10.3. Theorem. Funktor je ekvivalencija akko je potpun, vjeran i esencijalno surjektivan.

0.11. Kategorija Cat. Objekti u Cat su male kategorije. Morfizmi su funktori, a kompozicija je kompozicija funktora dana s F ∘ G = (F_{0}, F_{1}) ∘ (G_{0}, G_{1}) := (F_{0}∘G_{0}, F_{1}∘G_{1}) gdje su kompozicije s lijeve strane kompozicije funkcija skupova. Bifunktor je funktor čija je domena kartezijev produkt dviju kategorija.

0.12. Neka su C, D dvije kategorije. Kartezijev produkt C × D je kategorija zadana s Ob(C × D) = Ob C × Ob D, Mor(C × D) = Mor C × Mor D, s(c, d) = (s^{C}(c), s^{D}(d)), t(c, d) = (t^{C}(c), t^{D}(d)) i (f, g) ∘ (f′, g′) = (f ∘^{C} f′, g ∘^{D} g′), za sve c ∈ Ob C, d ∈ Ob D, f, f′ ∈ Mor C, g, g′ ∈ Mor D. Ova definicija se na očit način poopćava na kartezijev produkt bilo koje (male) familije kategorija.

0.13. Dijagram d : D → C u kategoriji C je funktor iz male kategorije D u kategoriju C. Fiksirajmo malu kategoriju D. Konus tipa d u kategoriji C je prirodna transformacija γ : const_{x} ⇒ d gdje je const_{x} : D → C konstantni funktor D ↦ x ∈ Ob C. Objekt x je vrh konusa γ. Kokonus tipa d u kategoriji C je konus tipa D u kategoriji C^{0}.

Konusi tipa d u kategoriji C čine klasu objekata Ob cone(d, C). Morfizam konusa f : α → β je morfizam s : x → y u C gdje je x vrh konusa α, y vrh konusa β i za svaki D ∈ D, β_{D} ∘ s = α_{D}. Morfizmi konusa tipa d čine klasu Mor cone(d, C). Kompozicija morfizama konusa je kompozicija pripadnih morfizama u C. Time je definirana kategorija cone(d, C); analogno se definira kategorija kokonusa cocone(d, C) = cone(d, C^{0}). Terminalni objekt kategorije konusa tipa d je univerzalni konus ili limes dijagrama d; njegov vrh se označava s lim d; inicijalni objekt kategorije kokonusa tipa d je univerzalni kokonus ili kolimes dijagrama d čiji vrh označavamo s colim d. Ponekad se pod limesom (kolimesom) dijagrama neprecizno podrazumijeva njegov vrh.

Prirodnu transformaciju funktora α : d ⇒ d′ : D → C zovemo morfizam dijagrama. Dijagrami i prirodne transformacije čine kategoriju Nat(D, C). Ukoliko umjesto dijagrama gledamo velike kategorije, tada analogna kategorija nije dobro definirana.

Ako je α : d ⇒ d′ morfizam dijagrama i s : const_{x} ⇒ d konus nad dijagramom d, tada je α ∘ s : const_{x} ⇒ d′ konus nad dijagramom d′. Ako je s′ = lim d′ univerzalni konus nad d′ s vrhom x′ tada po univerzalnom svojstvu limesa postoji jedinstveni morfizam x → x′ koji je ujedno morfizam konusa nad d′. Taj morfizam označavamo s lim α.

(Zadatak 0.5) Dokaži da je ta korespodencija funktorijalna: lim : Nat(D, C) → C je funktor; colim : Nat(D, C)^{0} → C je funktor.

0.14. Kategorija C je diskretna ako je jedinica i : Ob C → Mor C bijekcija. Očito je svaka diskretna kategorija skeletalna, ali ne i obratno. Za svaku klasu S postoji kategorija Disc(S), jedinstvena do na izomorfizam kategorija, čija klasa objekata je S (kanonski reprezentant te klase ima i istu klasu morfizama, gdje je jedinica identiteta id_{S} : S → S). Primijeti da se, sa skupova S, korespodencija S ↦ Disc(S) može proširiti do funktora Set → Cat.

Neka je A skup, i {s_{a}, a ∈ A} (mala) familija objekata s_{a} ∈ Ob C (tj. funkcija s : A → Ob C). Produkt (∏_{a∈A} s_{a}, p) je limes funktora Disc(A) : Disc(S) → C, ako postoji (ili njegov vrh). Komponente univerzalnog konusa p_{b} : ∏_{a} s_{a} → s_{b} se zovu kanonske projekcije produkta. Koprodukt je kolimes funktora Disc(A) : Disc(S) → C; vrh univerzalnog konusa se označava s ∐_{a∈A} s_{a} a njegove komponente i_{b} : s_{b} → ∐_{a∈A} s_{a} se zovu kanonske injekcije koprodukta.

0.14.1. (Zadatak 0.6) Produkt male familije objekata u Cat je kanonski izomorfan njihovom kartezijevom produktu.

0.15. Morfizmi f, g su paralelni ako imaju istu domenu i kodomenu. Dija-

gram oblika \xymatrix{A \ar[r]^{h} & B \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & C} nazivamo vilica ukoliko f ∘ h = g ∘ h; očito

vilica odgovara konusu nad paralelnim parom \xymatrix{B \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & C} . Univerzalna vilica, tj. limes paralelnog para naziva se i ujednačitelj (am. engl. equal-

izer). Analogno, kolimes univerzalnog para \xymatrix{B \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & C \ar[r]^{u} & D} nazivamo koujednačitelj. Kategorija C je (ko)zatvorena ako ima (ko)limese svih malih dijagrama d : D → C. Kategorija je konačno zatvorena ako ima (ko)limese svih konačnih dijagrama (dijagrama s konačno mnogo objekata i konačno mnogo morfizama).

0.16. Theorem. Kategorija C je (konačno) zatvorena akko ima sve (konačne) produkte i ujednačitelje svih paralelnih parova. Kategorija je (konačno) kozatvorena ako ima sve (ko)načne koprodukte i koujednačitelje.

Dokaz. Po dualnosti je dovoljno pokazati slučaj kolimesa. Netrivijalan smjer je da je postojanje produkata (redom, konačnih produkata) i koujednačitelja dovoljno za postojanje svih limesa. Promatrajmo dakle proizvoljni dijagram d : D → C. Po pretpostavci postoje produkti P = ∏_{D∈D_{0}} d(D) i Q = ∏_{(f:D→D′)∈D_{1}} d(D′) s projekcijama p_{D} : P → d() i q_{f} : Q → d(codf). Po univerzalnom svojstvu produkta Q postoje jedinstveni paralelni par F, G : P → Q takav da p_{codf} = q_{f} ∘ F i f ∘ p_{domf} = q_{f} ∘ G za sve f u D(D, D′):

\xymatrix{P \ar[dr]_{p_{D′}} \ar[r]^{F} & Q \ar[d]^{q_{f}} & P \ar[d]_{p_{D}} \ar[r]^{G} & Q \ar[d]^{q_{f}} \\  & D′ & D \ar[r]^{f} & D′}

Neka je u : A → P ujednačitelj tog para. Tvrdnja: p_{D} ∘ u : A → d(D) je komponenta projekcije limesa lim d u D. Najprije provjeravamo da te projekcije zaista čine konus:

f ∘ p_{domf} ∘ u = q_{f} ∘ G ∘ u = q_{f} ∘ F ∘ u = p_{codf} ∘ u : A → d(codf).

Neka su w_{D} : B → d(D) komponente bilo kojeg drugog konusa nad d; dakle f ∘ w_{domf} = w_{codf} for all f ∈ Mor D. Po univerzalnom svojstvu produkta P postoji jedinstveni morfizam v : B → P takav da p_{D} ∘ v = w_{D} za sve D ∈ Ob D. Po definiciji F i G,

q_{f} ∘ F ∘ v = p_{D′} ∘ v = w_{D′} = f ∘ w_{D} = f ∘ p_{D} ∘ v = q_{f} ∘ G ∘ v,  (1)

što po univerzalnom svojstvu produkta Q implicira F ∘ v = G ∘ v, tj.

\xymatrix{B \ar[r]^{v} & P \ar[r]^{F} \ar[r]_{G} & Q}

je vilica. Stoga, po univerzalnosti ujednačitelja (A, u), postoji jedinstveni morfizam z : B → A tako da je u ∘ z = v : B → P. No posljednja jednakost je ekvivalentna (po univerzalnom svojstvu produkta P) familiji identiteta p_{D} ∘ u ∘ z = p_{D} ∘ v gdje D ide po D_{0}. Potonji uvjet se može napisati kao (p_{D} ∘ u) ∘ z = w_{D}; stoga je z, pri tome jedinstveni, morfizam iz konusa (B, w_{D}) u konus (A, p_{D} ∘ u); dakle (A, p_{D} ∘ u) je limes početnog dijagrama d.

0.17. Korolar. Kategorija skupova Set je zatvorena i kozatvorena kategorija.

Skica dokaza. Dovoljno je pokazati da je (kategorijski) produkt familije skupova A_{i} njihov Kartezijev produkt s prirodnim projekcijama p_{i} : ×_{j}A_{j} → A_{i} te da je ujednačitelj dva preslikavanja f, g : A → B skup {ainA|f(a) = g(a)}.

0.18. Neka je G : D → C funktor (D sad nije nužno malena kategorija). Par (r, u) gdje je r objekt u D i u : c → Sr morfizam u C, zovemo univerzalna strelica ako za svaki objekt d u D i svaki f : c → Gd postoji jedinstveni morfizam f′ : r → d tako da je Gf′ ∘ u = f.

0.19. Primjer. Neka je Grp kategorija grupa i homomorfizama grupa, Set kategorija skupova i za svaki skup S neka je F S slobodna grupa s bazom S, te U : Grp → Set ”zaboravni” funktor koji grupi pridružuje njen pripadni skup. Tada je za svaki skup S, par skupa S i prirodnog ulaganja baze S u F S kao morfizam skupova univerzalna strelica.

0.20. (Notacija) Kompoziciju funktora ćemo često označavati konkatenacijom. Za danu transformaciju α : F ⇒ G : C → D i funktor H : A → C s αH = α_{H} : F H ⇒ GH : A → D označavamo transformaciju s komponentama (α_{H})_{A} := α_{H(A)}. Ako je L : D → G funktor tada s Lα = L(α) : LF ⇒ LG : C → G označavamo transformaciju s komponentama (Lα)_{C} := L(α_{C}). U praksi često s C(C, C′) označavamo Hom_{C}(C, C′).

0.21. Neka su F : C → D i U : D → C dva funktora. Par prirodnih transformacija η : id ⇒ UF, ϵ : F U ⇒ id su redom jedinica i kojedinica adjunkcije ako vrijede ”trokutni” identiteti U(ϵ) ∘ η_{U} = id_{U}, ϵ_{F} ∘ F (η) = id_{F}. Tada kažemo da je funktor F lijevo adjungiran funktoru U ili, ekvivalentno, da je funktor U desno adjungiran funktoru F i pišemo F ⊣ U.

0.22. Propozicija. F ⊣ U akko postoji (bi)prirodni izomorfizam bifunktora b : Hom_{C}(Id, U) ≅ Hom_{D}(F, Id) : C × D → Set tj. za svaki par objekata C iz C, D iz D možemo izabrati bijekciju b_{C,D} : C(C, UD) ≅ D(F C, D) i te bijekcije su prirodne u oba argumenta.

Dokaz. Pretpostavimo da je dana adjunkcija. Kojedinica adjunkcije η inducira preslikavanje b_{C,D} formulom b_{C,D}(f) = ϵ_{D} ∘ F f, a jedinica njen inverz g ↦ Ug ∘ η_{C}. Trokutne relacije impliciraju da su te dvije funkcije zaista inverzi. Prirodnost nije teško provjeriti.

Obratno, ako je zadana biprirodni izomorfizam b, tada je jedinica adjunkcije dana s η_{C} = b_{C,F C}^{−1}(id_{F C}) : C → UF C, a kojedinica adjunkcije s ϵ_{D} = b_{UD,D} ∘ id_{UD} : F UD → D.

(Zadatak 0.7) Ispuni preostale detalje ovog dokaza.

0.23. Propozicija. Neka je F : C → D ekvivalencija kategorija. Tada postoji adjunkcija F ⊣ G čija su jedinica i kojedinica izomorfizmi. Drugim riječima, svaka ekvivalencija se može zamijeniti adjungiranom ekvivalencijom.

0.24. Neka je S neka standardna kategorija (npr. kategorija skupova), a C kategorija. Tipičan primjer kategorije C u tom kontekstu je kategorija Ouv(X, τ) otvorenih skupova i ulaganja otvorenih skupova u topološkom prostoru (X, τ). Funktor C^{0} → S se naziva Predsnop na C s vrijednostima u S je bilo koji kontravarijantni funktor iz C u S. Reprezentabilan predsnop je predsnop skupova koji je izomorfan predsnopu oblika h_{C} = Hom_{C}(Id, C). Mali predsnop skupova je predsnop koji je izomorfan limesu nekog dijagrama reprezentabilnih predsnopova.

0.25. Neka je D mala kategorija, a C kategorija. Kategorija funktora i prirodnih transformacija Nat(D, C) se ponekad označava eksponencijalnom notacijom C^{D}. Ukoliko C = Set i D mala, tada se s D̂ := Set^{D^{0}} označava kategorija predsnopova skupova na D. Ako D nije mala, tada ili Set zamijenimo s Set_{U}, ili gledamo samo male predsnopove.

0.26. Definicija. Korespodencija

h : D ↦ h_{D} := Hom_{D}(−, D), D ∈ Ob D, h(f)(g) = f ∘ g : C → E,

gdje su f : D → E, g : C → E morfizmi u D je funktor h : D → D̂ kojeg nazivamo Yonedino ulaganje.

0.27. Teorem. (Yonedina lema, jaka verzija) Neka je P : D → Set bilo koji predsnop skupova. Tada postoji, prirodna u D, bijekcija skupova

Nat(h_{D}, P) ≅ P (D).

Koristan savjet čitatelju: pokušajte najprije sami dokazati ovaj teorem.

Dokaz. Neka je α : h_{D} ⇒ P prirodna transformacija s komponentama α_{C} : Hom_{D}(C, D) → P (D). Tada definiramo X_{α} ∈ P (D) sa X_{α} = α_{D}(id_{D}). Dovoljno je pokazati da preslikavanje X : α ↦ X_{α} Nat(h_{D}, P) →^{≅} P (D) ima inverz. Za svaki y u P (D) definiramo prirodnu transformaciju e(y) : h_{D} ⇒ P s komponentama e(y)_{C} : (f ∈ h_{D}(C)) ↦ (P (f)(y) ∈ P (C)) (sjetimo se da je P kontravarijantan, dakle P (f) : P (D) → P (C)). Tada

e(X_{α})_{C}(f) = P (f)(α_{D}(id_{D})) = α_{C} ∘ P (f)(id_{D}) = α_{C} ∘ id_{C} = α_{C},
X_{e(y)} = (e(y)_{D})(id_{D}) = P (id_{D})(y) = y.

Dakle preslikavanja y ↦ e(y) i α ↦ X_{α} su jedan drugome inverzi.

Dijagrame prirodnosti ostavljamo čitatelju za provjeru.

0.28. Korolar. (Yonedina lema, slaba verzija) Yonedino ulaganje h : D ↦ h_{D} je potpun i vjeran funktor h : D → D̂.

Dokaz. U teoremu 0.27 stavimo P = h_{C}. Tako dobivamo bijekciju Nat(h_{D}, h_{C}) ≅ D(D, C) za svaki par C, D, tj. funktor D ↦ h_{D} je ulaganje kategorija.

0.29. Primijetimo da se Yonedino ulaganje prirodno razlaže u kompoziciju D ⟶^{h^{sm}} D̂^{sm} ↪ D̂ gdje je D̂^{sm} kategorija malih predsnopova, a D̂^{sm} ↪ D̂ kanonsko ulaganje. Naime svaki reprezentabilni snop je mali po definiciji.

0.30. Kažemo da funktor F : C → B čuva limese ukoliko šalje univerzalne konuse u univerzalne konuse. Drugim riječima za svaki dijagram d : D → C, za koji postoji limes u C, postoji i limes dijagrama F ∘ d te lim(F ∘ d) = F (lim d) (pri čemu potonja jednakost za vrh limesa, podrazumijeva i da projekcije od lim d funktor F šalje u odgovarajuće projekcije od lim(F ∘ d)).

1 Snopovi nad topološkim prostorima i etalni prostori

1.1. Neka je (B, τ) topološki prostor. Tada s Ouv_{(B,τ)} = Ouv_{B} označavamo kategoriju kojoj su objekti otvoreni podskupovi u B, a morfizmi ulaganja otvorenih podskupova i : U ↪ V.

Kažemo da je familija objekata U = {U_{i}}_{i∈I} pokrivač u Ouv_{B} pokrivač objekta U ako ∪_{i}U_{i} = U.

1.1.1. Predsnop P nad topološkim prostorom B, s vrijednostima u kategoriji C je predsnop iz male kategorije Ouv_{B} (tj. kontravarijantni funktor) u C. Prirodne transformacije su morfizmi predsnopova nad B. Predsnopovi nad B i njihove transformacije čine kategoriju PFas_{B}.

1.1.2. Ako je P : Ouv_{B}^{0} → Set predsnop skupova i i : U ↪ V, tada ćemo morfizam P (i) : P (V) → P (U) u Set označavati i s r_{UV} i x ↦ x|_{U} i zvati restrikcija s V na U. Elementi skupa P (U) se nazivaju i prerezi predsnopa P nad U.

1.1.3. Separirani predsnop skupova ili monopredsnop nad topološkim prostorom (B, τ) je predsnop P : Ouv_{B}^{0} → Set takav da za svaki pokrivač U od U, i svaka dva različita elementa x ≠ y u P (U) postoji i takav da je x|_{U_{i}} ≠ y|_{U_{i}}.

1.1.4. Epipredsnop skupova je predsnop P : Ouv_{B}^{0} → Set takav da za svaki pokrivač U od U, ukoliko je {x_{i}}_{i} familija elemenata x_{i} ∈ P (U_{i}) i vrijedi x_{i}|_{U_{i}∩U_{j}} = x_{j}|_{U_{i}∩U_{j}}, tada postoji x u P (U) takav da je x|_{U_{i}} = x_{i}.

1.1.5. Snop je separirani epipredsnop.

1.1.6. Ovu definiciju možemo izreći i ovako: snop je predsnop P takav da je za svaki pokrivač U od U dijagram

\xymatrix{P (U) \ar[r]^{∏_{i}(r_{UU_{i}})} & ∏_{i} P (U_{i}) \ar[r] \ar[r] & ∏_{ij} P (U_{i} ∩ U_{j})}

ujednačitelj paralelnog para dva očita prirodna morfizma sastavljenih od restrikcija ∏_{ij}(r_{U_{i},U_{ij}}) i ∏_{ij}(r_{U_{j},U_{ij}}). Ta definicija ima smisla za predsnopove s vrijednostima u bilo kojoj zatvorenoj kategoriji C umjesto Set, npr. kategoriji grupa Grp ili kategoriji Abelovih grupa Ab.

1.1.7. Morfizam snopova α : F → G nad bazom B je morfizam predsnopova nad B iz snopa F u snop G, tj. prirodna transformacija kontravarijantnih funktora. Snopovi nad B i njihovi morfizmi čine dakle punu potkategoriju Fas_{B} kategorije PFas_{B} predsnopova nad B.

1.2. Inicijalni objekt u kategoriji skupova je prazan skup, a u kategoriji Ouv_{X} je takodjer. Terminalni objekt u Set je skup s jednim elementom (singleton), a u Ouv_{B} je B. Dakle netrivijalni predsnop skupova ne može slati prazan skup u prazan skup, jer po kontravarijantnosti bi trebao postojati morfizam iz P (U) u P (∅), no ne postoji preslikavanje iz P (U) u ∅ ukoliko je P (U) neprazan.

Fibrirani produkti u kategoriji Ouv_{B} su naprosto presjeci skupova.

1.3. Neka je C bilo koja kategorija, a B objekt u C. Tada s C/B označavamo kategoriju kriški nad B (engl. slice category). Objekti kategorije C/B su morfizmi oblika f : E → B u C, a morfizmi α : f → g u C/B su komutativni trokuti oblika

\xymatrix{F \ar[rr]^{α} \ar[dr]_{f} &  & G \ar[dl]^{g} \\  & B}

u C.

1.4. Kategorija Bun_{B} := Top/B. Objekte u Bun_{B} nazivamo (topološkim) prostorima nad (bazom) B. Ponekad se kaže svežanj nad B, ili raslojenje nad B (engl. bundle); mi ćemo, medjutim rezervirati riječ svežanj za jedan specijalni ali važan slučaj: lokalno trivijalni raslojeni prostor (fibre bundle) s tipičnim slojem koji će se pojaviti u kasnijim lekcijama. Morfizme u Bun_{B} zovemo (neprekidna) preslikavanja prostora nad B.

1.4.1. Kategorija etalnih prostora je puna potkategorija Et_{B} ⊂ Bun_{B} čiji su objekti lokalni homeomorfizmi π : E → B. To znači da za svaku točku e ∈ E postoji okolina U^{otv} ∋ e, takva da je π(U) otvoreni skup u B i restrikcija π|U : U → π(U) homeomorfizam.

1.4.2. Natkrivanje (engl. covering space) topološkog prostora B je prostor π : E → B nad B takav da je π surjekcija i za svaki b ∈ B postoji U^{otv} ∋ b tako da postoji familija disjunktnih otvorenih podskupova U_{α} ⊂ E sa svojstvom π^{−1}(U) = ∐_{α} U_{α} i π|_{U_{α}} : U_{α} → U je homeomorfizam za svaki α. Ukoliko su E i B glatke mnogostrukosti tada je dobiveno natkriva nje glatko ukoliko možemo izabrati U tako da je π|_{U_{α}} difeomorfizam. Svako natkrivanje je primjer etalnog prostora, ali ne i obratno: kod etalnih prostora, okoline U_{α} točaka p_{α} ∈ π^{−1}(b) koje se homeomorfno preslikavaju na svoje slike imaju slike π(U_{α}) koje se medjusobno razlikuju (mogu biti i nehomeomorfne slike, no to nije bitno). Ako je π^{−1}(b) beskonačan skup tada je moguće da presjek ∩_{α}π(U_{α}) nije zatvoren. Natkrivanja prostora čine punu potkategoriju Cov_{B} ⊂ Et_{B}. U praksi se često razmatra samo potkategorija povezanih natkrivanja povezanih prostora.

1.5. Neka je b točka u B i P predsnop skupova nad B. Neka je ∼_{b} relacija ekvivalencija na uniji ∪_{U^{otv}∋b}P (U), gdje P (U) ∋ (U, y) ∼_{b} (V, z) ∈ P (V) akko postoji W^{otv} ∋ U ∩ V takva da b ∈ W i y|W = z|W. Klase ekivalencija zovemo klice prereza (ili sekcija) predsnopa P u točki b. Klasa ekvivalencije prereza x u točki b se označava s [x]_{b}. Skup svih klasa ekvivalencija u točki b nazivamo vlat asociranog etalnog prostora E(P)_{b} u točki b.

1.6. (Zadatak 1.1) Dokaži da je skup klasa ekvivalencija E(P)_{b} jednak kolimesu colim_{U∋b} P (U) dijagrama koji je restrikcija predsnopa P na punu potkategoriju u Ouv_{B} čiji su objekti otvorene okoline od b u B.

1.6.1. Totalni skup asociranog etalnog prostora E(P) = ∐_{b} colim_{U∋b} P (U) predsnopa skupova P je disjunktna unija svih vlati asociranog snopa.

1.6.2. Neka je P predsnop i s ∈ P (U). Označi sa s̃ : U → E(P) funkciju danu sa s̃(b) = [s]_{b}. Postoji kanonsko preslikavanje kojemu je domena disjunktna unija ∐_{U} P (U) a kodomena skup svih podskupova totalnog skupa asociranog prostora zadano s P (U) ∋ x ↦ {x̃(b) = [x]_{b}|b ∈ U}. Postoji najmanja topologija u kojoj su svi elementi slike tog preslikavanja (a ti elementu su slike prereza s̃ : U → E(P)) otvoreni (”slike svih sekcija s̃ čine bazu topologije u E(P)”). Totalni prostor asociranog etalnog prostora E(P) je totalni skup asociranog etalnog prostora s tom topologijom. Projekcija asociranog etalnog prostora je preslikavanje π : E(P) → B dano s π([s]_{b}) = b.

1.6.3. Propozicija. s̃: U → E(P) je neprekidno preslikavanje i π ∘ s̃ = id_{U}. Dokaz. Jednakost je očita: b ↦^{s̃} [s]_{b} ↦^{π} b. Dakle treba pokazati neprekidnost. Pretpostavimo suprotno, tj. postoji točka b u kojoj s̃ nije neprekidno. To

znači da postoji okolina W^{otv} ∋ s̃(b) = [s]_{b} tako da za svaku okolinu V^{otv} ∋ b, s̃(V) nije podskup od W. Kako je W otvoren i sadrži [s]_{b} to postoji element baze topologije oblika t̃(Z^{otv}) ⊂ W gdje Z ∋ [s]_{b}, t ∈ P (Z). To znači da [t]_{b} = [s]_{b}, dakle postoji okolina Z′ ⊂ Z ∩ U tako da je t|Z′ = s|Z′. Ako stavimo V = Z′ tada je V otvorena i sadrži b, te s̃(V) = t̃(V) ⊂ t̃(Z) ⊂ W s kontradikcijom.

1.6.4. Propozicija. Projekcija π : E(P) → B dana s π([s]_{b}) = b je neprekidno, i štoviše, etalno preslikavanje.

Dokaz. Ova projekcija je dobro definirana jer je E(P) po definiciji disjunktna unija vlati.

π je etalan ako za svaku točku e ∈ E(P) postoji okolina U^{otv} ∋ e tako da je π(U) otvoren u B i π|_{U} : U → π(U) homeomorfizam. Po definiciji totalnog skupa, e je klica [s]_{b} nekog prereza s : V^{otv} → E(P), a slika s̃(V) je otvorena okolina točke e. Dakle π ∘ s̃(V) = V je otvoren skup, a π|_{s̃(V)} : s̃(V) → V bijekcija. Preslikavanja π i π_{U} su oba neprekidna u točki p ako za svaku okolinu b ∈ W^{otv} ⊂ V ∩ π(U) postoji okolina p ∈ Z^{otv} ⊂ U, tako da π(Z) = π|_{U}(Z) ⊂⊂ W. No to je lako: stavimo naprosto Z := s̃(W). Dakle π i π|_{W} su neprekidni. Kako je takodjer s̃ neprekidno prema 1.6.3 i π∘s̃ = id_{V} to je π|_{Z} homeomorfizam na sliku.

1.7. Propozicija. (i) Ako s ∈ P (U) tada je s̃ neprekidno i π ∘ s̃ = id_{U}.

(ii) Preslikavanje t : U → E(P) koje zadovoljava π ∘ t = id_{U} je neprekidno samo ako oko svake točke b ∈ U postoji okolina b ∈ W^{otv} ⊂ U takva da je t = s̃ za neki s ∈ P (W).

(iii) Neka su t, s ∈ P (U). Tada t̃ = s̃ akko postoji pokrivač U = {U_{i}}_{i} od U tako da je t|_{U_{i}} = s|_{U_{i}} za sve i.

Dokaz. (i) Po definiciji topologije u E(P), ako s ∈ P (U) tada je s̃ neprekidno. Takodjer (π ∘ s̃)(b) = π([s]_{b}) = b.

(ii) Neka je b ∈ U. Tada po definiciji topologije u E(P) postoji W^{otv} ⊂ U, b ∈ W i postoji element s ∈ P (W) takav da je t(b) ∈ s̃(W) ⊂ t(U). Kako je π ∘ t = id_{U} i π ∘ s̃ = id_{W}, vrijedi s̃(w) = t(w) za svaki w ∈ W.

(iii) Neka je b ∈ U. Tada [s]_{b} = s̃[b] = t̃[b] = [t]_{b}, tj. postoji b ∈ W_{b}^{otv} ⊂ U takav da s|_{W_{b}} = t|_{W_{b}}. Dakle {W_{b}}_{b} je traženi pokrivač. Obratno, činjenica da je s|_{U_{i}} = t|_{U_{i}} implicira da [s]_{b} = [t]_{b} za svaki b ∈ U_{i}; kako je U pokrivač isto slijedi za sve b ∈ U, pa prema definiciji s̃ = t̃.

1.8. Propozicija. Postoji kanonski funktor Γ : Bun_{B} → PFas_{B} koji je na objektima (π_{E} : E → B) u Bun_{B} zadan s Γ : (E →^{π} B) ↦ ΓE gdje

(ΓE)(U) = Γ_{U}(E) = {s : U → E neprekidno | s ∘ π_{E} = id_{U}}
r_{V U}^{ΓE} = (ΓE)(V ↪ U) : s ↦ s|_{V} , V ⊂ U, s ∈ Γ_{U}(E).

Ovdje je ΓE naravno skraćenica za Γ(E →^{π} B) ili, ekvivalentno, Γπ_{E}.

Kažemo da su elementi od Γ_{U}(E) (neprekidne) sekcije nad U.

Dokaz. Treba zadati taj funktor i na morfizmima u Bun_{B} i pokazati funktorijalnost. Neka je dakle f : E → F neprekidno preslikavanje prostora nad bazom B, tj. π_{E} = π_{F} ∘ f. Malo je nezgodno označavati vrijednost funktora Γ na f s Γf, ili preciznije Γ(f/B) jer se ne radi o sekcijama preslikavanja f, nego induciranom morfizmu medju sekcijama Γ(E → B) i Γ(F → B). Transformacija Γ(f/B) : Γπ_{E} ⇒ Γπ_{F} je dana u komponentama naprosto s Γ_{U}(f/B)(s) = f ∘ s, gdje je s ∈ Γ_{U}(E). Funktorijalnost je očita iz formule.

1.9. Propozicija. Predsnop prereza Γ(E → B) bilo kojeg prostora nad B je snop.

Dokaz. Separiranost. Neka je U = {U_{i}}_{i} pokrivač od U i r, t ∈ Γ_{U}(π_{E}) te r|_{U_{i}} = t|_{U_{i}} za sve i. Tada za svaki b ∈ U_{i} r(b) = t(b), a kako U_{i} pokrivaju U, tada je r = t kao preslikavanja skupova.

Svojstvo epipredsnopa. Neka je dalje v_{i} ∈ P (U_{i}) familija prereza čije restrikcije se podudaraju na presjecima U_{i} ∩ U_{j}. To znači da formula v(b) = [v_{i}]_{b} za b ∈ U_{i} ne zavisi o predstavniku. Dakle v : b ↦ v(b) je dobro definirana sekcija i v|U_{i} = v_{i}. Neprekidnost v se provjerava lokalno, no kako je lokalno v|U_{i} = v_{i} slijedi iz neprekidnosti v_{i}; analogno izlazi i svojstvo prereza π ∘ v = id_{B} iz π ∘ v_{i} = id_{U_{i}}.

1.9.1. (Napomene i primjeri.) Slično, ukoliko je E → B neprekidna projekcija u kategoriji topoloških prostora s nekom dodatnom strukturom ili svojstvom, tada možemo gledati umjesto Γ_{U}E samo prereze koji respektiraju dodatnu strukturu ili svojstvo. Na primjer, ukoliko je E → B glatko (analitičko) preslikavanje glatkih (analitičkih) tada je asociranje otvorenom skupu U prostora glatkih (analitičkih) prereza Γ_{U}^{sm}E (redom, Γ_{U}^{ω}E) snop. No, to ne vrijedi za svojstva koja nisu lokalne prirode. Npr. ukoliko promatramo potprostor ograničenih prereza Γ_{U}^{b}E, tada imamo separirani predsnop, no općenito nemamo snop! Naime prerez može biti neograničena na nekoom otvorenom skupu U, a da je ograničena na svakom elementu U_{i} nekog pokrivača {U_{i}}_{i} od U. Ukoliko je E = B × R gdje je R neki topološki prostor (moguće s dodatnom strukturom) tada se prerezi mogu poistovjetiti s funkcijama B → R. Na taj način uvodimo snopove neprekidnih funkcija, glatkih funkcija i analitičkih funkcija. Snopifikacija aΓ^{bω}(E, C) separiranog predsnopa C_{E}^{bω} = Γ^{bω}(E, C) ograničenih analitičkih funkcija B → C izomorfna je kao snop, snopu analitičkih funkcija C_{E}^{ω} = Γ^{ω}(E, C) (ograničenost se ne movže razlikovati na klicama, pa nestaje prelaskom na prostor klica, dakle i prelaskom na asocirani snop).

1.10. Propozicija. Korespodencija P ↦ (E(P) → B) se može kanonski proširiti do funktora L : PFas_{B} ⟶ Bun_{B}.

Dokaz. Neka je α : P ⇒ Q prirodna transformacija predsnopova. Definiramo L(α) : E(P) → E(Q) na klicama s L(α)([s]_{b}) = [α_{U}(s))]_{b} gdje je s ∈ P (U) proizvoljni predstavnik klice [s]_{b}. Treba pokazati da ta definicija ne zavisi od izbora predstavnika. Neka je t ∼_{b} s, gdje je t ∈ P (V). Dakle postoji W^{otv} ⊂ U ∩ V s b ∈ W takav da s|W = t|W. Iz prirodnosti α : P ⇒ Q (za morfizme W ↪ U, W ↪ V) slijedi da α_{U}(s)|W = α_{W} (s|W) = α_{W} (t|W) = α_{V} (t)|W, dakle α_{U}(s) ∼_{b} α_{V} (t) što smo i tražili.

Pokažimo da je L(α) morfizam u Et_{B} ⊂ Bun_{B}, tj. neprekidno preslikavanje nad B. Kako slike prereza čine bazu topologije, dovoljno je pokazati da je za svaki U^{otv}, za svaki s ∈ Q(U), praslika

L(α)^{−1}(s̃(U)) = {L(α)^{−1}([s]_{b}) | b ∈ U}

otvoren skup u E(P). Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka y ∈ L(α)^{−1}(s̃(U)) ⊂ E(P) s b = π(y) tako da y nije u interioru tog skupa. Tada L(α)(y) = [s]_{b}. To znači da postoji W^{otv} ∋ b i r ∈ Γ_{U}(E) tako da je [r]_{b} = y i L(α)([r]_{b}) = [α_{W} (r)]_{b} = [s]_{b}. Dakle prijelaskom na manju okolinu b ∋ Z^{otv} ⊂ W možemo postići da je α_{Z}(r|_{Z}) = α_{W} (r|_{W})|_{Z} = s|_{W} |_{Z} = s|_{Z}. To znači da je r(Z) ⊂ L(α)^{−1}(s̃(U)). Kako je r(Z) otvorena okolina od y dobili smo kontradikciju.

Provjera funktorijalnosti L je ostavljena čitatelju.

1.10.1. Kako je, prema 1.6.4, projekcija [x]_{b} ↦ b s E(P) → B etalni prostor, funktor L se faktorira kao L : PFas_{B} → Et_{B} ↪ Bun_{B}.

1.11. Neka je P predsnop nad prostorom B = (B, τ). Tada je snopifikacija predsnopa P morfizam predsnopova α : P → a(P) gdje je a(P) asocirani snop tj. snop takav da za bilo koji drugi snop F i morfizam predsnopova P → F postoji jedinstvena dekompozicija P →^{α} a(P) → F. Očito se to može izreći kao univerzalno svojstvo, pa je snopifikacija, ako postoji, jedinstvena do na izomorfizam snopova.

1.12. Teorem. Kompozicija a = Γ∘L : PFas_{B} → Fas_{B} je funktor, takav da je morfizam predsnopova P ⇒ a(P), koji je po komponentama P (U) → (aP)(U) dan sa s ↦ s̃ snopifikacija ( 1.11) predsnopa P, tj. zadovoljava univerzalno svojstvo snopifikacije. Dakle snopifikacija bilo kojeg predsnopa P s vrijednostima u kategoriji skupova postoji. Funktor a nazivamo funktor snopifikacije ili asociranog snopa.

Dokaz. Neka je F neki drugi snop i α : P ⇒ F transformacija (morfizam predsnopova) s komponentama α_{U} : s ↦ α_{U}(s). Tražimo morfizam predsnopova β : aP ⇒ F takav da α = β ∘ η_{P}, drugim riječima takav da s̃ ↦ α_{U}(s) za svaki s ∈ P (U). Neka je t ∈ (aP)(U) proizvoljni element (’prerez’). Tada postoji pokrivač U = {U_{i}}_{i∈I} od U, i elementi r_{i} ∈ P (U_{i}) takvi da je t|_{U_{i}} = r̃_{i}. Definiramo β_{U}(t) s β_{U}(t)|U_{i} = α_{U}(r_{i}). Kako je F snop, β_{U}(t) je odredjen svojim restrikcijama an elemente pokrivača, ukoliko se podudaraju na presjecima, tj. ukoliko α_{U_{i}}(r̃_{i})|_{U_{i}∩U_{j}} = α_{U_{j}}(r̃_{j})|_{U_{i}∩U_{j}}. U tu svrhu primijeti r̃_{i}|_{U_{i}∩U_{j}} = t|_{U_{i}}|_{U_{i}∩U_{j}} = t|_{U_{j}}|_{U_{i}∩U_{j}} = r̃_{j}|_{U_{i}∩U_{j}}, dakle za svaku točku b ∈ U_{i} ∩ U_{j} (prema 1.7 (iii)) postoji okolina Z^{otv} = Z_{b} ⊂ U_{i} ∩ U_{j} takva da r_{i}|_{Z} = r_{j}|_{Z}. Tada α_{Z}(r_{i}|_{Z}) = α_{Z}(r_{j}|_{Z}), dakle, po prirodnosti transformacije α, α_{U_{i}}(r_{i})|_{Z} = α_{Z}(r_{i}|_{Z}) = α_{Z}(r_{j}|_{Z}) = α_{U_{j}}(r_{j})|_{Z}, pa, kako je F snop, i kako Z_{b} za razne b ∈ U_{i} ∩ U_{j} čine pokrivač od U_{i} ∩ U_{j}, to α_{U_{i}}(r_{i})|_{U_{i}∩U_{j}} = α_{U_{j}}(r_{j})|_{U_{i}∩U_{j}}.

Moramo pokazati da ta definicija ne zavisi od izbora pokrivača U te izbora r_{i} (sjetimo se da r ↦ r̃ nije nužno ni injekcija). Neka je dakle V = {V_{j}}_{j∈J} drugi pokrivač i v_{j} ∈ P (V_{j}) takvi da je ṽ_{j} = t|_{V_{j}}. Tada za svaki b ∈ U postoje i ∈ I, j ∈ J i okolina W_{b}^{otv} ∈ b, W_{b} ⊂ U_{i} ∩ U_{j} tako da v_{j}|_{W_{b}} = t_{W_{b}} = r_{i}|_{W_{b}}. Dakle α_{W_{b}}(v_{j}|_{W_{b}}) = α_{W_{b}}(r_{i}|_{W_{b}}) i, kako je F snop, i to vrijedi za sve b ∈ U_{i} ∩V_{j}, i prema prirodnosti α, α_{U_{j}}(v_{j})|_{U_{i}∩V_{j}} = α_{U_{i}∩U_{j}}(v_{j}|_{U_{i}∩V_{j}}) = α_{U_{i}∩U_{j}}(r_{i}|_{U_{i}∩V_{j}}) = α_{U_{i}}(r_{i})|_{U_{i}∩V_{j}} kako je traženo.

Konačno treba pokazati da je β : U → β_{U} prirodna transformacija. Neka je dakle W ↪ U inkluzija otvorenih skupova u B i t ∈ aP (U). Neka je b ∈ W. Tada postoji Y^{otv} ⊂ W, Y ∈ b, r̃|_{Y} = t|_{W} |_{Y} = t|_{Y}. Tada po definiciji β,

β_{W} (t|_{W})|_{Y} = α_{Y} (r_{Y}) = β_{U}(t)|_{Y} = β_{U}(t)|_{W} |_{Y} .

Kako je b proizvoljan, slijedi β_{W} (t|_{W}) = β_{U}(t)|_{W}.

Analogni teorem vrijedi i za snopove s vrijednostima u nekim drugim, ali ne svim zatvorenim kategorijama. Postoji ovakvo profinjenje gornjeg teorema:

1.12.1. Theorem. Ulaganja kategorija

snopovi ↪ separirani predsnopovi ↪ predsnopovi

imaju lijeve adjunkte. Funktor snopifikacije a je kompozicija ta dva lijeva adjunkta, a njegova restrikcija na kategoriju separiranih predsnopova je lijevi adjunkt ulaganja snopova u separirane predsnopove.

Ovaj teorem će biti dokazan kao korolar naših daljih razmatranja u ovoj i slijedećoj lekciji. No, prije toga ćemo konstruirati lijevi adjunkt sep : PFas_{B} → sepPFas_{B} ulaganja separiranih predsnopova u predsnopove. Za to definiramo relaciju ekvivalencije ∼_{U} na P (U) gdje s ∼ t akko postoji pokrivač {U_{i}}_{i} skupa i takav da s|_{U_{i}} = t|_{U_{i}}. Tada stavimo (sepP)(U) = P (U)/ ∼_{U}, te za svako ulaganje V ↪ U i s ∈ P̃(U) s|_{V} je klasa po ∼_{V} bilo kojeg predstavnika klase s po ∼_{U}.

1.12.2. (Zadatak 1.2) Pokaži da je sepP dobro definirani separirani predsnop.

1.13. Propozicija. Korespodencija P ↦ η_{P}, gdje je η_{P} morfizam predsnopova P u njegov asocirani snop a(P), s komponentama (η_{P})_{U} : (s ∈ P (U)) → (s̃ ∈ Γ_{U}L(P)) (gdje je preslikavanje s ↦ s̃ opisano u 1.6.2), je prirodna transformacija η : Id_{PFas_{B}} ⇒ a.

Dokaz. Neka je α : P → Q morfizam predsnopova. Moramo pokazati da dijagram

\xymatrix{P \ar[r]^{α} \ar[d]_{η_{P}} & Q \ar[d]^{η_{Q}} \\ aP \ar[r]^{a(α)} & aQ}

komutira. Drugim riječima, ukoliko je s ∈ P (U) tada { \atop α_{U}(s)} = Γ_{U}(L(α))(s̃), što, ako definicije raspišemo u proizvoljnoj točki b ∈ U vodi na tautologiju [α_{U}(s)]_{b} = [α_{U}(s_{b})]_{b}.

1.14. Teorem. Postoji adjunkcija L ⊣ Γ čija jedinica je η : P ↦ η_{P}. Ta adjunkcija se restringira na adjungiranu ekvivalenciju

L|_{Fas_{B}} : Fas_{B} ≅ Et_{B} : Γ|_{Et_{B}}

izmedju kategorije snopova i kategorije etalnih prostora nad B.

Dokaz. Zadajmo komponentu kojedinice ϵ_{π_{E}} : LΓE → E sa ϵ_{π_{E}} : [s]_{b} ↦ s(b). Naime svaka točka u E je oblika [s]_{b} gdje je s : U^{otv} → E prerez od π, i U^{otv} ∋ b. To je dobro definirano jer ukoliko je [s]_{b} = [t]_{b} onda se s i t podudaraju u nekoj okolini točke b, dakle a fortiori u samoj točki b. Takodjer je očito da π_{F} ∘ ϵ_{π_{E}} = π_{E} jer obe strane šalju [s]_{b} u b.

Treba pokazati da su relacije (”trokuti”) adjunkcije zadovoljene. Neka je P predsnop, izračunajmo kompoziciju

\xymatrix{LP \ar[r]^{L(η_{P})} & L ΓLP \ar[r]^{ϵ_{LP}} & LP}  (2)

Neka je [s]_{b} ∈ LP, tada L(η_{P})([s]_{b}) = [s̃]_{b}; nadalje ϵ_{LP} ([s̃]_{b}) = s̃(b) = [s]_{b}, dakle kompozicija (2) je identiteta.

Neka je, s druge strane, E = (E ⟶^{π} B) prostor nad B i neka je s ∈ Γ_{U}E. Tada (η_{ΓE})_{U}(s) = s̃ ∈ Γ_{U}(L ΓE) i Γ(ϵ_{E})(s̃)(b) = (ϵ_{E} ∘ s̃)(b) = ϵ_{E}(s̃(b)) = ϵ_{E}([s]_{b}) = s(b). Dakle, kompozicija

\xymatrix{ΓE \ar[r]^{η_{ΓE}} & ΓL ΓE \ar[r]^{Γ(ϵ_{E})} & ΓE}  (3)

je identiteta.

Ranije smo pokazali da restrikcija Γ na potkategoriju snopova Fas_{B} zaista prima vrijednosti u potkategoriji etalnih prostora Et_{B}, i obratno, restrikcija funktora L na Et_{B} prima vrijednosti u Fas_{B}. Treba pokazati da su dvije kompozicije restrikcija funktora izomorfne identiteti, pri čemu su izomorfizmi jedinica i kojedinica neke adjunkcije. Naravno, to će biti restrikcija gore definirane adjunkcije.

Neka je dakle E = (E ⟶^{π} B) etalni prostor. Pokažimo da je komponenta ϵ_{E} izomorfizam.

1.14.1. (Zadatak 1.3) Komponenta u U komponente u P jedinice (η_{P})_{U} : P (U) → (aP)(U) (dana s s ↦ s̃) nije općenito ni injekcija ni surjekcija (nadji primjere!). Dokaži da je η_{P} injekcija onda i samo onda ako je predsnop P monopredsnop i surjekcija onda i samo onda ako je P epipredsnop.

1.15. Korolar. Kategorija snopova nad B je reflektivna potkategorija kategorije predsnopova nad B, tj. inkluzija je potpun i vjeran funktor koji ima lijevi adjunkt. Ekvivalentno, kojedinica adjunkcije Γ ∘ L ⇒ Id_{Bun_{B}} je izomorfizam.

1.16. (Zadatak 1.4) Pokaži da je morfizam etalnih prostora j : E → F nad B monomorfizam u Et akko je injektivan kao preslikavanje totalnih skupova nad B i slika j(E) je otvoren podskup u F.

2 Snopovi struktura i operacije nad snopovima

2.1. Definicija. Etalni prostor π : E → B je etalni prostor s vlatima u grupama (abelovim grupama, prstenovima) ako je za svaku vlat π^{−1}(b) zadana struktura grupe i ako grupovne operacije neprekidno zavise od vlati do vlati. Drugim riječima neka je E_{n} ⊂ E^{×n} topološki potprostor Tihonovljeve (kartezijeve) n-t potencije prostora E koji se sastoji od takvih n-torki elemenata u E čije sve komponente pripadaju istoj vlati; i neka je {m_{b} : π^{−1}(b)^{n} → π^{−1}(b)}_{b∈B} porodica preslikavanja iste signature. Tada ta porodica inducira preslikavanje m : E_{n} = ∐_{b} π^{−1}(b)^{n} → ∐_{b} π^{−1}(b) = E; tražimo da je to preslikavanje neprekidno.

2.2. Teorem. Kategorija snopova grupa (prstenova) je adjungirano ekvivalentna kategoriji etalnih prostora s vlatima u grupama (prstenovima) (po definiciji podrazumijevamo da su algebarske operacije neprekidne).

Dokaz je analogan slučaju snopova skupova.

2.3. (Izračunavanje limesa i kolimesa u kategoriji snopova)

2.4. Primjer: kojezgra preslikavanja snopova

2.5. Kategorija s množenjem je par kategorije C i bifunktora množenje ⊗ : C × C → C. Ukoliko je množenje striktno asocijativno (na objektima i na morfizmima), i postoji jedinični objekt 1 s obzirom na množenje, tada se množenje naziva striktni monoidalni produkt a trojka (C, ⊗, 1) je striktna monoidalna kategorija.

Kažemo da je kategorija C kartezijeva ako ima kartezijeve produkte prozvoljnih familija objekata. Kartezijeva kategorija je kartezijevo zatvorena kategorija ako za svaki Y postoji funktorijalni u X izbor produkta X × Y, pri čemu funktor X ↦ X × Y ima lijevi adjunkt, koji označavamo s X ↦ Hom(X, Y); naravno to daje bifunktor Hom(−, −). Drugim riječima, postoji prirodni izomorfizam funktora

Hom(X ⊗ Y, Z) ≅ Hom(X, Hom(Y, Z))

2.5.1. Propozicija. Neka je C kategorija s bifunktorijalnim produktom ⊗ koji je asocijativan do na izomorfizam (ne nužno koherentni) i unutarnjim homobjektom Hom. Tada

Hom(X ⊗ Y, Z) ≅ Hom(X, Hom(Y, Z))

Dokaz. Za svaki objekt W u C,

Hom(W, Hom(X ⊗ Y, Z)) ≅ Hom(W ⊗ (X ⊗ Y), Z) ≅
≅ Hom((W ⊗ X) ⊗ Y, Z)
≅ Hom(W ⊗ X, Hom(Y, Z))
≅ Hom(W, Hom(X, Hom(Y, Z)))

Kako je W ↦ Hom(W, −) vjeran funktor (Yonedino ulaganje za C^{0}) tvrdnja slijedi.

2.5.2. Trivijalni primjer. U kategoriji skupova Set unutarnji i obični hom se podudaraju.

2.6. Teorem. Kategorije PFas_{B} i Fas_{B} su zatvorene kartezijeve kategorije.

Skica dokaza. Općenito, ako su D, A male kategorije, i C ima D-indeksirane limese, i ako je P : D → Fun(A, C) dijagram funktora, tada lim P postoji i (lim P)(U) = lim_{D}(P(D)) gdje je limes na desnoj strani limes (dijagrama s vrijednostima) u C, dakle postoji. Stavimo li A = Ouv_{B}^{0} i D mala diskretna kategorija dobivamo postojanje D-indeksiranih produkata u PFas_{B}. Unutarnji hom-objekt Hom_{PFas}(X, Y) je predsnop U ↦ Hom(X(U), Y (U)).

U kategoriji snopova, produkt je naslijedjen iz kategorije predsnopova, tj. (∏_{i} X)(U) = ∏_{i} X_{i}(U), a unutranji hom-objekt Hom_{Fas}(X, Y) = a(Hom_{PFas}(X, Y)) je asocirani snop unutarnjeg homa u kategoriji predsnopova.

2.6.1. (Zadatak 1.4) Provjeri da (X, Y) ↦ a(Hom_{PFas}(X, Y)) zaista reprezentira unutarnji hom-funktor u kategoriji snopova, tj. provjeri adjunkciju.

3 Snopovi nad raznim bazama

3.1. Neka je Top kategorija topoloških prostora i Arr(Top) kategorija morfizama (strelica) u Top: njeni objekti su morfizmi u Top, a morfizmi (α, f) :

(E →^{π} X) → (E′ →^{π′} X′) su komutativni kvadrati oblika

\xymatrix{E \ar[r]^{α} \ar[d]_{π} & E′ \ar[d]^{π′} \\ X \ar[r]^{f} & Y}

s očitom kompozicijom kvadrata. Neka je Et puna potkategorija od Arr(Top) čiji su objekti etalni prostori nad raznim bazama. Kažemo da je α morfizam etalnih prostora nad f. Ta terminologija poopćava prijašnju jer ako uzmemo f = id_{B} tada su morfizmi etalnih prostora nad id_{B} upravo ono što smo prije zvali morfizmi etalnih prostora nad B. Dakle Et_{B} ⊂ Et je potkategorija etalnih prostora nad id_{B}.

3.2. Teorem. Neka je f : X → Y neprekidno preslikavanje i E ⟶^{π} Y etalni prostor nad Y. Tada postoji etalni prostor f^{∗}E nad X, zajedno s preslikavanjem f_{E}^{□} : f^{∗}E → E nad f, jedinstven do na izomorfizam etalnih prostora nad X, koji zadovoljava slijedeće univerzalno svojstvo: za svaki etalni prostor σ : F → X i morfizam etalnih prostora α : F → E nad preslikavanjem f postoji jedinstvena dekompozicija α = β ∘ f_{E}^{□} gdje je β preslikavanje etalnih prostora nad id_{B}.

Preslikavanja tipa f^{□} za neki f i neki E kao u ovom teoremu nazivamo kartezijevim morfizmima etalnih prostora. Objašnjenje te terminologije ćemo dati kasnije u kontekstu raslojenih (fibriranih) kategorija.

Dokaz teorema. Najprije konstruiramo totalni prostor etalnog prostora f^{∗}E kao potprostor f^{∗}E = {(e, x) | π(e) = f(x)} ⊂ E × X, i naravno, projekcija je dana s π_{f^{∗}E}(e, x) = x. Treba pokazati da je f^{∗}E ⟶^{π_{f^{∗}E}} X etalni prostor. Po definiciji inducirane topologije, te topologije Tihonova na E × X, za svaku (e, x) ∈ f^{∗}E, postoji okolina oblika U^{♯} = f^{∗}E ∩ U × f^{−1}(π(U)) ∋ (e, x) gdje e ∈ U, U i π(U) su otvoreni i π|U je homeomorfizam na sliku. Nadalje π_{f^{∗}E}(U^{♯}) je cijeli f^{−1}(π(U)) a to je otvoreni skup (ako je z ∈ f^{−1}(π(U)), (π|U)^{−1}(f(z)), z) je element iz U^{♯} u vlati nad z. π_{f^{∗}E}|U^{♯} je injektivno jer ako (e, x) i (e′, y) pripadaju istoj vlati, tada x = y i dakle π(e) = f(x) = π(e′), a kako je π|U homeomorfizam, dakle injektivan, e = e′. Projekcija π_{f^{∗}E}|U^{♯} je neprekidna, jer za svaki otvoreni V^{otv} ∋ x, V ⊂ f^{−1}(π(U)), skup (π_{f^{∗}E}|_{U^{♯}})^{−1}(V) = f^{∗}E ∩ U × V je otvoren. Treba pokazati da je π_{f^{∗}E}|U^{♯} otvoreno preslikavanje. Neka je f^{∗}E ∩ Z × f^{−1}(π(W)) neprazni element baze topologije u U^{♯}, gdje je Z^{otv} ⊂ U i W ⊂ U i (e′, y) ∈ f^{∗}E ∩ Z × f^{−1}(π(W)). Tada π(e′) = f(y) dakle (e′, y) ∈ f^{∗}E ∩ (Z ∩ W) × f^{−1}(π(Z ∩ W)) = (Z ∩ W)^{♯} ⊂ U^{♯} i Z ∩ W ⊂ U je otvoren. π|(Z ∩W)^{♯} je bijekcija na f^{−1}(π(Z ∩W)) (svakog r ∈ f^{−1}(π(Z ∩W)) pogodimo kao sliku elementa (π^{−1}(f(r)), r)).

Preslikavanje f_{E}^{□} : f^{∗}E → E je dano formulom (x, e) ↦ e.

Sad treba pokazati univerzalno svojstvo. Neka je dakle morfizam σ : F → E nad f fiksiran. Promotrimo (π_{F} , σ) : F → f^{∗}E tj. h ↦ (π_{F} (h), σ(h)). To je dobro definirano preslikavanje, jer je f preslikavanja nad f pa f ∘ π_{F} = π_{E} ∘ σ i dakle (π_{F} (h), σ(h)) ∈ f^{∗}E ⊂ X ×E; neprekidnost je očita kao i f^{□}∘(π_{F} , σ) = σ. Jedinstvenost ostavljamo čitatelju.

3.3. Propozicija. Neka je U^{otv} ⊂ X. Svaki prerez s : U^{otv} → f^{∗}E je nužno oblika s : x ↦ (x, s′(x)) gdje s′ = f_{E}^{□} ∘ s : U → E neka funkcija. Taj prerez je neprekidan akko ∀x ∈ U, ∃U^{′otv} ∋ x, ∃V^{otv} ∋ f(x) takvi da je f(U′) ⊂ V i ∃r : G → E neprekidni prerez i r ∘ f|_{U′} = s′|_{U′}. Drugim riječima s : U → f^{∗}E je neprekidan prerez akko postoji pokrivač U = {U_{α}}_{α} od U i familija otvorenih skupova V = {V_{α}}_{α} i prereza r_{α} : V_{α} → E tako da je f(U_{α}) ⊂ V_{α} i r_{α} ∘ f|_{U_{α}} = s′|_{U_{α}}.

3.4. Neka je s : V → E prerez etalnog prostora E nad V^{otv} ⊂ Y. Označimo s t_{s} : f^{−1}V ↪ f^{−1}E preslikavanje t_{s} : x ↦ (x, [s]_{f(x)}).

3.4.1. (Zadatak) Pokaži da ako je s neprekidan prerez, tada je t_{s} neprekidno preslikavanje.

3.5. Propozicija. Neka je k : f^{∗}E → G preslikavanje etalnih prostora nad X. Tada je k neprekidno akko je za svaki V^{otv} ⊂ Y i za svaki prerez s : V → E k ∘ t_{s} : f^{−1}V → G neprekidno preslikavanje.

Dokaz. Ako su t_{s} i k neprekidni tada je očito i njehova kompozicija. S druge strane, kako je t_{s} neprekidni prerez, to je i Imt_{s} je otvoren; nadalje skupovi oblika Imt_{s} pokrivaju f^{∗}E. Dakle inverz k^{−1}(W) otvorenog skupa W ⊂ G je otvoren akko je k^{−1}(W) ∩ t_{s}(f^{−1}U) otvoren, dakle akko je t_{s}^{−1}(k^{−1}(W) ∩ t_{s}(f^{−1}U)) jer inverz t_{s}^{−1} : Imt_{s} → f^{−1}U homeomorfizam.

3.6. (Potiskivanje predsnopa uzduž neprekidnog preslikavanja f) Neka je f : X → Y neprekidno preslikavanje. Ono inducira funktor f^{−1} = Ouv(f) : Ouv_{Y} → Ouv_{X}, dan s U ↦ f^{−1}(U) i na morfizmima (U ↪ V) ↦ (f^{−1}(U) ↪ f^{−1}(V)). Yonedino ulaganje je kontravarijantno funktorijalno na zamjenu bazne kategorije, tj. ako je F : C → D funktor medju malim kategorijama, tada ga možemo proširiti do funktora F̂ : D̂ → Ĉ s F̂(P) = P ∘ F : C^{0} → Set za svaki P : D^{0} → Set. Stavimo F = f^{−1} i dobivamo funktor f_{∗} = f̂^{−1} : PFas_{X} → PFas_{Y}. Drugim riječima, f_{∗}(P)(U) = P (f^{−1}(U)) za P ∈ PFas_{X} i U^{otv} ⊂ Y.

3.7. (Povlačenje predsnopa uzduž f) Neka je f : X → Y neprekidno preslikavanje. Ono nazivamo otvoreno preslikavanje akko šalje otvorene skupove u otvorene tj. U ↦ f(U) je funktor Ouv_{X} → Ouv_{Y}. Općenito slika f(U) nije otvorena pa umjesto nje gledamo inverzno usmjerenu kategoriju svih okolina V^{otv} ⊃ f(U) i ulaganja. Preciznije, definiramo funktor inverzne slike f^{−1} : PFas_{Y} → PFas_{X} formulom

f^{−1}(P)(U) := colim_{V^{otv}⊃f(U)} P (V) = colim_{U⊂f^{−1}(V)} P (V).  (4)

Kako je P kontravarijantan, sustav P (V) je usmjereni skup (restrikcije su strelice). Kako kolimesi ne čuvaju lijevu egzaktnost, inverzna slika za snopove je definirana s

f^{−1}F := a(U ↦ colim_{U⊂f^{−1}(V)} F(V)).

3.8. Kolimes u formuli (4) je kolimes dijagrama čija je domena primjer tzv. zarezne (engl. comma) kategorije. Neka je dan dijagram kategorija i funktora

A ⟶^{F} C ⟵^{G} C.

Zarezna kategorija je kategorija (F ↓ G) čiji objekti su uredjene trojke (a, f, b) gdje je a ∈ Ob A, b ∈ Ob B i (F (a) ⟶^{f} G(b)) ∈ Mor C; čiji morfizmi su parovi (α, β) : (a, f, b) ⟶ (a′, f′, b′) gdje su α : a → a′ morfizam u A i β : b → b′ morfizam u B takvi da G(β)∘f = f′∘F (α) : F (a) → G(b′); i gdje se kompozicija morfizama izvrijednjuje po komponentama: (α_{1}, β_{1})∘(α_{2}, β_{2}) = (α_{1}∘α_{2}, β_{1}∘β_{2}).

3.8.1. Zarezna kategorija je dana zajedno s projekcijama p_{A} : (F ↓ G) → A, p_{B} : (F ↓ G) → B, p_{A}(a, f, b) = a, p_{A}(α, β) = α, p_{B}(a, f, b) = b i p_{B}(α, β) = β, te s prirodnom transformacijom ν : F ∘p_{A} → G∘p_{B} s komponentama ν_{(a,f,b)} = f.

3.8.2. (Univerzalno svojstvo zarezne kategorije) Neka je D kategorija, F′ : D → A i G′ : D → B funktori, te σ : F ∘ F′ ⇒ G ∘ G′ : D → C prirodna transformacija. Tada postoji jedinstveni funktor H : D → (F ↓ G) tako da je F′ = p_{A} ∘ H, G′ = p_{B} ∘ H i νH = σ. Funktor H je odredjen formulom H : d ↦ (F′(d), σ_{d}, G′(d)) na objektima i H : δ ↦ (F′(δ), G′(δ)) na morfizmima. Prirodnost transformacije σ povlači da je par H(δ) zaista morfizam u (F ↓ G).

3.8.3. (Jednostavniji slučajevi zarezne kategorije) Ukoliko A = C i F = Id_{A} tada označavamo (A ↓ G) := (Id_{A} ↓ G), i slično (F ↓ B) := (F ↓ Id_{B}). Ukoliko je A = {c} (inicijalna kategorija koja se sastoji od samo jednog objekta c i jednog morfizma id_{c}), i F = const_{c} : 1 ↦ c tada označavamo (c ↓ G) := (const_{c} ↓ G); ukoliko je uz to i B = C i G = Id_{C} tada c/C := (c ↓ C) = (c ↓ Id_{C}) je kategorija kokriški (engl. coslice category) ili kategorija objekata (is)pod (objekta) c. Slično ako je B = C i G = const_{c} označimo (F ↓ c) := (F ↓ const_{c}) i ako je, uz to F = Id_{C}, tada C/c := (Id_{C}, const_{c}) je kategorija kriški (engl. slice category) ili kategorija objekata (iz)nad c.

3.8.4. Uz korištenje pojma zarezne kategorije formulu (4) možemo napisati kao

f^{−1}P (U) = colim_{(U,i,V)∈(Ouv_{X}↓f^{−1})} P (U) = colim_{x∈(Ouv_{X}↓f^{−1})} P (p_{Ouv_{X}} (x))

gdje je i : U ↪ f^{−1}V jedino ulaganje za dane U, V. Mada ta formula izgleda kompliciranija, zgodna je u generalizacijama. Za snopove moramo dobiveni kolimes jos snopificirati.

3.9. Theorem. Neka je f : X → Y neprekidno preslikavanje topoloških prostora, F snop nad X i G snop nad Y. Tada postoji adjunkcija

Hom_{Fas_{X}} (f^{−1}G, F) ≅ Hom_{Fas_{Y}} (G, f_{∗}F).

Dat ćemo dva dokaza (i kasnije, treći u generalizaciji nad sajtovima).

3.10. Prvi dokaz je preko direktne konstrukcije jedinice i kojedinice adjunkcije. Primijetimo da f_{∗}f^{−1}G(U) = f^{−1}G(f^{−1}U) = colim_{ff^{−1}U⊂V^{otv}} G(V), te da ff^{−1}U ⊂ U ali tipično nije otvoreni podskup od U. Kako je G kontravarijantan funktor, to kod kolimesa možemo uzeti kofinalni dio dijagrama koji se sastoji samo od V ⊂ U. No za taj kofinalni dio postoje restrikcije r_{V U} : G(U) → G(V).

Komponenta jedinice η_{G} : G → f_{∗}f^{−1}G je morfizam snopova nad Y s komponentama η_{G}(U) : G(U) → f_{∗}f^{−1}G(U) = colim_{ff^{−1}U⊂V} G(V) danim formulom η_{G}(U) = colim_{ff^{−1}U⊂V ⊂U} r_{UV}. Drugim riječima η_{G}(U) šalje prerez s ∈ G(U) u klicu [s]_{ff^{−1}U} oko ff^{−1}U ”restrikcijom” koja je kolimes restrikcija. Ukoliko je ff^{−1}U otvoren onda je ta ”restrikcija” prava restrikcija r_{ff^{−1}U,U}.

S druge strane, f^{−1}f_{∗}F je snop nad X s

f^{−1}f_{∗}F(U) = colim_{f(U)⊂V^{otv}} f_{∗}F(V) = colim_{f(U)⊂V^{otv}} F(f^{−1}V).

Kako je U ⊂ f^{−1}f(U) ⊂ f^{−1}V, za V u formuli, to su definirane restrikcije r_{U,f^{−1}V} : F(f^{−1}V) → F(U). Kako r_{U,f^{−1}V′} = r_{U,f^{−1}V} ∘ r_{f^{−1}V,f^{−1}V′}, po univerzalnom svojstvu kolimesa induciramo prelikavanje, koje je komponenta kojedinice naše adjunkcije

ϵ_{F}(U) : colim_{f(U)⊂V^{otv}} F(f^{−1}V) → F(U).

Provjeru trokutnih relacija ostavljamo čitatelju.

3.11. (Drugi dokaz, kao MacLane-Moerdijk)

4 Komorfizmi i prstenovani prostori

4.1. Neka su M, N mnogostrukosti (npr. domene u euklidskim prostorima) i f : M → N neprekidno preslikavanje. Promatrajmo snopove glatkih funkcija C_{M}^{∞}, C_{N}^{∞}. Za svaki U^{otv}, C^{∞}(U) je algebra i restrikcije su preslikavanja algebri; tako da su C_{M}^{∞}, C_{N}^{∞} snopovi algebri. Algebre globalnih sekcija se označavaju C^{∞}(M) = C_{M}^{∞}(M).

f inducira prelikavanje algebri C^{∞}(U) → C^{∞}(f^{−1}U), g ↦ g ∘ f za sve U^{otv} ⊂ N akko je f glatko. To je lako vidjeti: laka strana je da je kompozicija glatkih preslikavanja glatko prelikavanje; manje očito je koristiti da kad raspišemo da je inducirano prelikavanje u lokalnim koordinatama glatko, onda je dovoljno provjeriti da su kompozicije s koordinatnim funkcijama glatke, a one su specijalne C^{∞} lokalno definirane glatke funkcije. Preslikavanja algebri C^{∞}(U) → C^{∞}(f^{−1}U) su uskladjena s restrikcijama, tako da dobivamo prelikavanje C_{N}^{∞} → f_{∗}C_{M}^{∞} snopova nad N.

Mnogostrukosti i glatke funkcije u ovom primjeru mogle su biti zamijenjene mnogim drugim geometrijskim primjerima. Primijetimo, da ova situacija ne odredjuje morfizam C_{M}^{∞} → C_{N}^{∞} snopova nad f, tj. prelikavanje etalnih prostora nad različitim bazama općenito. Osnovna razlika je u tome da morfizam F → G snopova nad f ima jedinstvenu dekompoziciju u kompoziciju F → f^{−1}G → G, gdje je F → f^{−1}G preslikavanje snopova nad X, a f^{−1}G → G odabrano kartezijevo preslikavanje nad f. U našem slučaju, postoji slična dekompozicija u terminima inverzne slike, morfizma nad X i nekog preslikavanja nad f koje spominje samo G; no prvo preslikavanje je u suprotnom smjeru: f^{−1}G → F. Pošto je taj fenomen nešto općenitiji, mi najprije definiramo pojam komorfizma.

4.2. Komorfizam (pred)snopova ϕ : F → G nad neprekidnim preslikavanjem f : X → Y je morfizam (pred)snopova ϕ : G → f_{∗}F nad Y.

4.3. Propozicija. Komorfizmi su u korespodenciji s familijama {ϕ_{x}}_{x∈X} morfizama vlati ϕ_{x} : G_{f(x)} → F_{x}, takvima da je za svaki prerez s ∈ Γ_{U}G, preslikavanje ϕ_{x} ∘ s ∘ f neprekidni prerez snopa F nad f^{−1}(U).

4.4. Korolar. Komorfizmi snopova su u prirodnoj bijekciji s morfizmima ϕ′ : f^{−1}G → F nad Y.

4.5. Korolar. Svaki komorfizam ϕ : F → G ima jedinstvenu dekompoziciju na vlatima G_{f(x)} → (f^{−1}G)_{x} → F_{x} gdje je s G_{f(x)} → (f^{−1}G)_{x} dan kanonski komorfizam nad f dan jedinicom adjunkcije f^{−1} ⊣ f_{∗}, a f^{−1}G → F je morfizam nad X. Isti komorfizam ima i jedinstvenu dekompoziciju na vlatima G_{f(x)} → (f_{∗}F)_{f(x)} → F_{x} gdje je G → f_{∗}F morfizam nad X, a s (f_{∗}F)_{f(x)} → F_{x} dan kanonski komorfizam nad f dan kojedinicom adjunkcije f^{−1} ⊣ f_{∗}.

4.6. Prstenovani prostor je par (X, F) gdje je X topološki prostor, a F je snop prstenova nad X. Snop prstenova F naziva se strukturni snop prstenovanog prostora (X, F). Morfizam prstenovanih prostora je par (f, f^{♯}) : (X, F) → (Y, G) gdje je f^{♯} : G → f_{∗}F morfizam snopova prstena nad Y, tj. komorfizam snopova prstena F → G.

4.7. Mala varijanta prstenovanih prostora su lokalno prstenovani prostori; oni su objekti potkategorije kategorije prstenovanih prostora čiji strukturni snopovi su snopovi lokalnih prstenova, tj. prstenova koji imaju jedinstveni maksimalni ideal; a čiji su komorfizmi nad f zapravo morfizmi snopova lokalnih prstenova nad Y, tj. za svaki U^{otv} ⊂ Y, f^{♯} : G(U) → F(f^{−1}U) je morfizam lokalnih prstenova (slika maksimalnog ideala u G(U) je maksimalni ideal u F(f^{−1}U)).

4.8. Ako je X ⊂ Y i (Y, G) prstenovani prostor tada je prirodno definiran prstenovani prostor nad X, (X, G|_{X}) koji nazivamo restrikcija (Y, G) na X. Ako je j : X ↪ Y ulaganje tada je G|_{X} = j^{−1}G.

5 Sheme

5.1. Shema je lokalno prstenovani prostor (X, F) takva da postoji otvoreni pokrivač U = {U_{α}}_{α}, ∪_{α}U_{α} = X i restrikcija (U, F|_{U}) je izomorfan lokalno prstenovanom prostoru oblika Spec R gdje je R neki prsten.

Lokalno prstenovani prostor Spec R će biti definiran u nekoliko koraka. Najprije definiramo Spec R kao skup: to je skup svih prostih ideala u R. Tada definiramo topologiju Zariskog na tom skupu. Onda definiramo podkategoriju topologije Zariskog, koji se sastoji od tzv. glavnih otvorenih podskupova D_{f} i pokazujemo da oni čine bazu topologije Zariskog. Tada definiramo predsnop lokalnih prstenova na podkategoriji glavnih otvorenih podskupova uz pomoć komutativne lokalizacije. Tada pokazujemo da taj predsnop zadovoljava varijantu snopovskog uvjeta. Na kraju pokazujemo da predsnop koji zadovoljava tu varijantu se proširuje s baze na čitavu topologiju do (strukturnog) snopa lokalnih prstenova na cijeloj topologiji Zariskog.