Snopovi, svežnjevi i kohomologija (60 sati)

                  Zoran Škoda, zskoda@irb.hr

Kolegij je zamišljen kao dvosemestralni široki uvod u snopovske metode u raznim područjima matematike. Teoriju snopova zasnovali su J. Leray i H. Cartan 40-tih godina 20tog stoljeća s motivacijom u teoriji holomorfnih funkcija (Cousinov problem, Okin princip, analitičko produljenje), nakon čega je dovela do velikih prodora u algebarskoj topologiji i do revolucije u algebarskoj geometriji (J.P. Serre, A. Grothendieck), i osnovama matematike (elementarni toposi, W. Lawvere). Osnovna svrha snopova je formalizacija odnosa lokalnog i globalnog (ljepljenje, teorija silaska). Jedna od mjera tog odnosa je kohomologija. Kociklusi koji ulaze u definicije različitih tipova kohomologije u geometriji, topologiji i čistoj algebri poopćenja su funkcija, diferencijalnih formi i prereza općenitijih svežnjeva i snopova.

Za kolegij nije potrebno specijalističko predznanje, jer će se početi od elementarnih pojmova; no potreban je široki interes za matematiku.

   SADRŽAJ //grubo, detaljnije www.irb.hr/korisnici/zskoda/kurssnop.dvi

• Pomoćna poglavlja teorije kategorija: Yoneda, limesi, adjunkcije, monade, algebarske teorije, interne kategorije, lokalizacija kategorija

• Predsnopovi, snopovi i stogovi na topološkim prostorima, snopifikacija

• Grothendieckove (pred)topologije, sajtovi i toposi, Giraudov teorem

• Geometrijski prostori sa strukturnim snopom, glavni i asocirani svežnjevi

• Osnovni primjeri kohomologija u matematici (de Rhamova, Čechova, Hochschildova i ciklicka koh.; koh. Liejevih algebri i grupa; neabelova)

• Homološka i homotopska algebra; simplicijalne metode i operadi

• Grupovni snopovi, torsori, ekvivarijantni objekti, Hopfove algebre, monoidalne kategorije, Tannakina rekonstrukcija, primjene u teoriji reprezentacija

• Svežnjevi i snopovi na mnogostrukostima, koneksije i zakrivljenost Osnovna literatura: skripte Teorija snopova u pripremi, lekcije na arXivu:math 0412512(Vistoli),0608420(Baez),0212266(Moerdijk), i dijelovi od:

[1] S. Mac Lane, I. Moerdijk, Sheaves in geometry and logic, 1992.

[2] M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and sheaves, Springer 2006.

[3] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris 1958.

[4] S. Gel’fand, Yu. Manin, Methods of homological algebra, 1988; 1996.